如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．（1）当P移动到什么位置时，BP=AB．（2）求∠C的取值范围．

Question

如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．

（1）当P移动到什么位置时，BP=AB．
（2）求∠C的取值范围．

Answer 1

（1）∵BD⊥BC，
∴△DBC是直角三角形，
当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，
∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，
又∵∠A=2∠C，
∴∠A=∠APB，
∴△ABP是等腰三角形，
∴BP=AB；
（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，
∵∠BDC+∠C=90°，
∴∠A+∠C＜90°，
即2∠C+∠C＜90°，
解得0°＜∠C＜30°．