（2012•犍为县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC2=2AC•CD．（要求用三种方法解题）

Question

（2012•犍为县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC²=2AC•CD．
（要求用三种方法解题）

Answer 1

证明：如图一：
延长CA到E，CA=AE，连接BE，
则有∵AB=AC，∴AB=(1)/(2)CE．
∴△CBE是直角三角形．
∴∠CBE是直角，（一边上的中线等于这一边长的一半的三角形是直角三角形）．
∴∠C=∠C，∠BDC=∠EBC=90°，
∴△BCD∽△ECB．
∴BC²=EC•CD=2AC•CD．

如图二：
作AE⊥BC于E，
∴∠C=∠C，∠AEC=∠BDC=90°，
则有△ACE∽△BCD．
得(CE)/(CD)＝(AC)/(BC)．
即CE•BC=CD•AC．
从而得：BC²=2AC•CD．

如图三：
在DA上截取DE=DC，连接BE，
则有△BCE∽△ACB．
得(BC)/(AC)＝(CE)/(BC)＝(2CD)/(BC)．
从而BC²=2AC•CD．