如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）

Question

如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）

Answer 1

解；方法一：在AB上取BE=BC，
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠CBD=∠EBD，
∵在△CBD和△EBD中，

BE＝BC

∠CBD＝∠EBD

BD＝BD

，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴CD=ED，
∠C=∠BED，
∵∠C=2∠A，
∴∠BED=2∠A，
∵∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=CD，
∵AB=BE+AE，
∴AB=CD+BC；
方法二：延长BC至F，使CF=CD，
则∠F=∠CDF，
∵∠ACB=∠F+∠CDF，
∴∠ACB=2∠F，
∴∠ACB=2∠A，
∴∠A=∠F，
在△ABD和△FBD中，

∠ABD＝∠FBD

∠A＝∠F

BD＝BD

，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴AB=BF，
∵BF=BC+CF，
∴BF=BC+CD，
∴AB=BC+CD．