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如图,△ABC中,∠C=2∠A,BD平分∠ABC交AC于D,求证:AB=CD+BC.(用两种方法)
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如图,△ABC中,∠C=2∠A,BD平分∠ABC交AC于D,求证:AB=CD+BC.(用两种方法)
▼优质解答
答案和解析
解;方法一:在AB上取BE=BC,
∵BD平分∠ABC交AC于D,
∴∠CBD=∠EBD,
∵在△CBD和△EBD中,
,
∴△CBD≌△EBD(SAS),
∴CD=ED,
∠C=∠BED,
∵∠C=2∠A,
∴∠BED=2∠A,
∵∠BED=∠A+∠ADE,
∴∠A=∠ADE,
∴AE=DE,
∴AE=CD,
∵AB=BE+AE,
∴AB=CD+BC;
方法二:延长BC至F,使CF=CD,
则∠F=∠CDF,
∵∠ACB=∠F+∠CDF,
∴∠ACB=2∠F,
∴∠ACB=2∠A,
∴∠A=∠F,
在△ABD和△FBD中,
,
∴△ABD≌△FBD(AAS),
∴AB=BF,
∵BF=BC+CF,
∴BF=BC+CD,
∴AB=BC+CD.
∵BD平分∠ABC交AC于D,
∴∠CBD=∠EBD,
∵在△CBD和△EBD中,
|
∴△CBD≌△EBD(SAS),
∴CD=ED,
∠C=∠BED,
∵∠C=2∠A,
∴∠BED=2∠A,
∵∠BED=∠A+∠ADE,
∴∠A=∠ADE,
∴AE=DE,
∴AE=CD,
∵AB=BE+AE,
∴AB=CD+BC;
方法二:延长BC至F,使CF=CD,
则∠F=∠CDF,
∵∠ACB=∠F+∠CDF,
∴∠ACB=2∠F,
∴∠ACB=2∠A,
∴∠A=∠F,
在△ABD和△FBD中,
|
∴△ABD≌△FBD(AAS),
∴AB=BF,
∵BF=BC+CF,
∴BF=BC+CD,
∴AB=BC+CD.
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