如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：PE=22CE；（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、C

Question

如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．
（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：PE=(√(2))/(2)CE；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．

Answer 1

（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：
∵∠FEC=∠DCE=90°，
∴EF∥CD，
∴∠PFE=∠PDG，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中

∠PFE=∠PDG

∠EPF=∠GPD

PF=PD

∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=(1)/(2)EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=(√(2))/(2)CE；
（2）PE=(√(2))/(2)CE，理由如下：如图（2）所示：
延长EP交CD的延长线于点G，
∵∠FEB+∠DCB=180°，
∴EF∥CD，
∴∠PEF=∠PGD，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中，

∠PFE=∠PDG

∠EPF=∠GPD

PF=PD

，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=(1)/(2)EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=(√(2))/(2)CE．