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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=AC=BC,∠ACB=90°,P是AA1的中点,Q是AB的中点.(1)求异面直线PQ与B1C所成角的大小;(2)若直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为12,求四棱锥C-BAPB1的体积.
题目详情
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=AC=BC,∠ACB=90°,P是AA1的中点,Q是AB的中点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cb8065380cd79123ef704ec5ae345982b3b780eb.jpg)
(1)求异面直线PQ与B1C所成角的大小;
(2)若直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
,求四棱锥C-BAPB1的体积.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cb8065380cd79123ef704ec5ae345982b3b780eb.jpg)
(1)求异面直线PQ与B1C所成角的大小;
(2)若直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
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▼优质解答
答案和解析
(1)以C为坐标原点,以CA,CB,CC1为X,Y,Z轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设CC1=AC=BC=2.
依题意,可得点的坐标P(2,0,1),Q(1,1,0),B1(0,2,2).
于是,
=(-1,1,-1),
=(0,-2,-2).
由
•
=0,
则异面直线PQ与B1C所成角的大小为
.
(2)连接CQ.由AC=BC,Q是AB的中点,得CQ⊥AB;
由AA1⊥面ABC,CQ⊊面ABC,得CQ⊥AA1.
又AA1∩AB=A,因此CQ⊥面ABB1A1
由直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
⇒CC1=AC=BC=1.可得CQ=
.
所以,四棱锥C-BAPB1的体积为VC-BAPB1=
•CQ•SBAPB1=
•
•[
(
+1)•
]=
.
依题意,可得点的坐标P(2,0,1),Q(1,1,0),B1(0,2,2).
于是,
PQ |
B1C |
由
PQ |
B1C |
则异面直线PQ与B1C所成角的大小为
π |
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(2)连接CQ.由AC=BC,Q是AB的中点,得CQ⊥AB;
由AA1⊥面ABC,CQ⊊面ABC,得CQ⊥AA1.
又AA1∩AB=A,因此CQ⊥面ABB1A1
由直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
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所以,四棱锥C-BAPB1的体积为VC-BAPB1=
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