如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AC=BC，∠ACB=90°，P是AA1的中点，Q是AB的中点．（1）求异面直线PQ与B1C所成角的大小；（2）若直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为12，求四棱锥C-BAPB1的体积．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=BC，∠ACB=90°，P是AA₁的中点，Q是AB的中点．

（1）求异面直线PQ与B₁C所成角的大小；
（2）若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为(1)/(2)，求四棱锥C-BAPB₁的体积．

Answer 1

（1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC₁为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设CC₁=AC=BC=2．
依题意，可得点的坐标P（2，0，1），Q（1，1，0），B₁（0，2，2）．
于是，

PQ

=(-1，1，-1)，

B1C

=（0，-2，-2）．
由

PQ

•

B1C

=0，
则异面直线PQ与B₁C所成角的大小为(π)/(2)．
（2）连接CQ．由AC=BC，Q是AB的中点，得CQ⊥AB；
由AA₁⊥面ABC，CQ⊊面ABC，得CQ⊥AA₁．
又AA₁∩AB=A，因此CQ⊥面ABB₁A₁
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为(1)/(2)⇒CC₁=AC=BC=1．可得CQ=(√(2))/(2)．
所以，四棱锥C-BAPB₁的体积为VC-BAPB1=(1)/(3)•CQ•SBAPB1=(1)/(3)•(√(2))/(2)•[(1)/(2)((1)/(2)+1)•√(2)]=(1)/(4)．