如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC=3，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A-C1D-C的平面角的余弦值．

Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB=1，AC=√(3)，BC=BB₁=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD中，AB=1，AC=√(3)，BC=2，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵侧棱AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥AC，
又∵AA₁∩AB=A，AA₁，AB⊂平面ABB₁A₁，
∴AC⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）过点C作CP⊥C₁D于P，连接AP，
由（Ⅰ）可知，AC⊥平面DCC₁D₁，
∠CPA是二面角A-C₁D-C的平面角，
∵CC₁=BB₁=2，CD=AB=1，∴CP=(DC×CC1)/(DC1)=(1×2)/(√(1+4))=(2√(5))/(5)，
∴tan∠CPA=(AC)/(CP)=(√(15))/(2)，∴cos∠CPA=(2√(19))/(19)，
∴二面角A-C₁D-C的平面角的余弦值为(2√(19))/(19)．