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如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE.连接DE、DF、EF.(1)求证:△ADF≌△CEF;(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
题目详情
如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE.连接DE、DF、EF.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,
又∵F是AB中点,
∴∠ACF=∠FCB=45°,
即,∠A=∠FCE=∠ACF=45°,且AF=CF,
在△ADF与△CEF中,
,
∴△ADF≌△CEF(SAS);
(2)由(1)可知△ADF≌△CEF,
∴DF=FE,
∴△DFE是等腰三角形,
又∵∠AFD=∠CFE,
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC,
∴∠AFC=∠DFE,
∵∠AFC=90°,
∴∠DFE=90°,
∴△DFE是等腰直角三角形.
∴∠A=∠B=45°,
又∵F是AB中点,
∴∠ACF=∠FCB=45°,
即,∠A=∠FCE=∠ACF=45°,且AF=CF,
在△ADF与△CEF中,
|
∴△ADF≌△CEF(SAS);
(2)由(1)可知△ADF≌△CEF,
∴DF=FE,
∴△DFE是等腰三角形,
又∵∠AFD=∠CFE,
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC,
∴∠AFC=∠DFE,
∵∠AFC=90°,
∴∠DFE=90°,
∴△DFE是等腰直角三角形.
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