H和K是群G的正规子群,且HK=G.证：G/(H∩K)是到(G/H)×(G/K)的同构.我的思路是：建立一个同态从G到（G/H）×(G/K)然后在运用有关的定力.但是一时间想不太起来从何入手.

Question

H和K是群G的正规子群,且HK=G.证：G/(H∩K) 是 到(G/H) × (G/K)的同构.
我的思路是：建立一个同态从G到（G/H） × (G/K) 然后在运用有关的定力.但是一时间想不太起来从何入手.

Answer 1

首先罗嗦一句:
>>>G/(H∩K) 是 到(G/H) × (G/K)的同构
书上真的是这样写的吗?
一个供您参考的思路:定义从G到直积(G/H) × (G/K)的同态 f 为标准同态的"积":
f (x) = (xH,xK)
显然 f 的核是 H∩K.为利用同态基本定理,只要说明 f 是满射.
任取x,y 属于G,注意 G=HK=KH 从而 可以把 y* x 写成 kh 的形式 [这里y*表示y的逆元素 y^(-1)].于是
x h* = y k
令这个元素为z,则(xH,yK)=(zH,zK)=f(z).