已知抛物线y2=2px（p>0）上一点M（t，8）到焦点F的距离是54t．（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线与抛物线C交于A，B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的

Question

已知抛物线y²=2px（p>0）上一点M（t，8）到焦点F的距离是(5)/(4)t．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C交于A，B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线的定义得|MF|=t+(p)/(2)，
∵M（t，8）到焦点F的距离是(5)/(4)t，
∴t+(p)/(2)=(5)/(4)t，
∴t=2p，
∴M（2p，8），代入抛物线方程得到p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x；
（2）设直线l的方程为x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
与抛物线方程联立，可得y²-8my-16=0，∴y₁+y₂=8m，
设A，B的中点为M，则y_M=(1)/(2)（y₁+y₂）=4m，x_M=4m²+2，
|AB|=x₁+x₂+p=8m²+8，
由抛物线的对称性可知，若定圆存在，则其圆心必在x轴上，
设圆的方程为（x-a）²+y²=r²，
∴（4m²+2-a）²+16m²=（4m²+4-r）²，
∴（32-8a）m²+（2-a）²=（32-8r）m²+（4-r）²，
∴

32-8a=32-8r

(2-a)2=(4-r)2

，
∴a=3，r=3．
∴定圆的方程为（x-3）²+y²=9．