已知y1=a1（x-m）2+5，点（m，25）在抛物线y2=a2x2+b2x+c2上，其中m>0．（1）若a1=-1，点（1，4）在抛物线y1=a1（x-m）2+5上，求m的值；（2）记O为坐标原点，抛物线y2=a2x2+b2x+c2的顶点为M，若c2=0，点A

Question

已知y₁=a₁（x-m）²+5，点（m，25）在抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂上，其中m>0．
（1）若a₁=-1，点（1，4）在抛物线y₁=a₁（x-m）²+5上，求m的值；
（2）记O为坐标原点，抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点为M，若c₂=0，点A（2，0）在此抛物线上，∠OMA=90°，求点M的坐标；
（3）若y₁+y₂=x²+16x+13，且4a₂c₂-b₂²=-8a₂，求抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂的解析式．

Answer 1

（1）∵a₁=-1，∴y₁=-（x-m）²+5．
将（1，4）代入y₁=-（x-m）²+5，得
4=-（1-m）²+5．
m=0或m=2．
∵m>0，
∴m=2．
（2）∵c₂=0，
∴抛物线y₂=a₂ x²+b₂ x．
将（2，0）代入y₂=a₂ x²+b₂ x，得4a₂+2b₂=0．即b₂=-2a₂．
∴抛物线的对称轴是x=1．
设对称轴与x轴交于点N，根据抛物线的对称性得，△OAM是等腰三角形，
∴NA=NO=1．
∵∠OMA=90°，
∴MN=OA=1．
∴当a₂>0时，M（1，-1）；
当a₂<0时，M（1，1）．
∵25>1，
∴M（1，-1），

（3）方法一：∵点（m，25）在抛物线y₂=a₂ x²+b₂x+c₂上，
∴a₂ m ²+b₂ m+c₂=25①
∵y₁+y₂=（a₁+a₂）x²+（b₂-2a₁m）x+5+a₁m²+c₂=x²+16x+13，
∴a₁+a₂=1②，
b₂-2a₁m=16③
a₁m²+c₂=8④
由③得，b₂m=16m+2a₁m²⑤，
由④得，c₂=8a₁m²⑥
将⑤⑥代入方程①得，a₂ m ²+16m+2 m ² a₁+8-m ² a₁=25．
整理得，m ²+16m-17=0．
解得m₁=1，m₂=-17．
∵m>0，
∴m=1．
将m=1代入③得，b₂=16+2a₁=12+2（1-a₂）=18-2a₂，
将m=1代入④得，c₂=8-a₁=8-（1-a₂）=7+a₂．
∵4a₂ c₂-b₂²=-8a₂，
∴4a₂（7+a2）-（18-2a₂）²=-8a₂．
∴a₂=3．
∴b₂=18-2×3=12，c₂=7+3=10．
∴抛物线y₂=a₂x²+b₂x+c₂的解析式为y=3x²+12+10．


方法二，由题意知，当x=m时，y₁=5；当x=m时，y₂=25；
∴当x=m时，y₁+y₂=5+25=30．
∵y₁+y₂=x₂+16 x+13，
∴30=m²+16m+13．
解得m₁=1，m₂=-17．
∵m>0，
∴m=1．
∵4a₂ c₂-b₂²=-8a₂，
∴(4a2c2-b22)/(4a2)=(-8a2)/(4a2)=-2
∴y₂ 顶点的纵坐标为-2．
设抛物线y₂的解析式为y₂=a₂ （x-h）²-2．
∴y₁+y₂=a₁ （x-1）²+5+a₂ （x-h）²-2．
∵y₁+y₂=（a₁+a₂）x²-2（a₁+a₂h）x+a₁+a₂h²+3=x²+16 x+13，
∴a₁+a₂=1①，-2（a₁+a₂h）=16②，a₁+a₂h²+3=13③，
将①代入②③化简得，a₂h-a₂=-9④，a₂h²-a₂=9⑤，
联立④⑤，解得h=-2，a₂=3．
∴抛物线的解析式为y₂=3（x+2）²-2=3x²+12+10．

方法三、由题意知，当x=m时，y₁=5；当x=m时，y₂=25，
∴当x=m时，y₁+y₂=5+25=30．
∵y₁+y₂=x²+16x+13，
∴30=m²+16m+13，
∴m=1或m=-17，
∵m>0，
∴m=1，
∴y₁=a₁ （x-1）+5．
∵y₁+y₂=x²+16x+13，
∴y²=x²+16 x+13-y₁
=x₂+16x+13-a₁ （x-1）²-5．
即y₂=（1-a₁）x²+（16+2a₁）x+8-a₁．

∵4a₂c₂-b₂²=-8a₂，
∴(4a2c2-b22)/(4a2)=(-8a2)/(4a2)=-2
∴y₂ 顶点的纵坐标为-2．
∴(4(1-a1)(8-a1)-(16+2a1)2)/(4(1-a1))=-2
∴a₁=-2．
∴y₂=3x²+10x+10．