已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，则ab的最大值是．

Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，则ab的最大值是___．

Answer 1

∵函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有零点，
∴△=a²-4b≥0，
（1）若△=0，即b=(a2)/(4)时，f（x）的零点为x=-(a)/(2)，
∴0≤-(a)/(2)≤1，即-2≤a≤0，
∴ab=(a3)/(4)，
∴当a=0时，ab取得最大值0；
（2）若△>0，即b<(a2)/(4)，
①若函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有一个零点，则f（0）•f（1）≤0，
∴b（1+a+b）≤0，
即b+b²+ab≤0，
∴ab≤-b²-b=-（b+(1)/(2)）²+(1)/(4)，
∴ab的最大值是(1)/(4)；
②若函数f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）在区间[0，1]上有两个零点，
∴

△=a2-4b>0

f(0)=b≥0

f(1)=1+a+b≥0

0≤-(a)/(2)≤1

，即

a2>4b

b≥0

a+b≥-1

-2≤a≤0

显然ab≤0，
综上，ab的最大值为(1)/(4)．