已知数列{an}的首项为a1=1，且满足对任意的n∈N*，都有an+1-an≤2n，an+2-an≥3×2n成立，则a2014=（）A．22014-1B．22014+1C．22015-1D．22015+1

Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且满足对任意的n∈N^*，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，则a₂₀₁₄=（　　）

A．2²⁰¹⁴-1
B．2²⁰¹⁴+1
C．2²⁰¹⁵-1
D．2²⁰¹⁵+1

Answer 1

由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得
a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ ①，
且an+2−an+1≤2×2n，
即an+1−an+2≥−2×2n  ②，
①+②得：a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴an+1−an＝2n．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2¹+1
=(1−2n)/(1−2)＝2n−1．
∴a2014＝22014−1．
故选：A．