已知函数f（x）=x-alnx（x>0，a∈R）有两个零点x1，x2，且x1<x2，（1）求a的取值范围；（2）证明：x1•x2>e2．

Question

已知函数f（x）=x-alnx（x>0，a∈R）有两个零点x₁，x₂，且x₁<x₂，
（1）求a的取值范围；
（2）证明：x₁•x₂>e²．

Answer 1

（1）令f（x）=0，
∴lnx=(1)/(a)x，
画出函数g（x）=lnx，h（x）=(1)/(a)x的图象，如图示：
，
∵g′（x）=(1)/(x)=(1)/(a)，
∴切点坐标是（a，lna），
把（a，lna）代入h（x）=(1)/(a)x，得：a=e，
∴若y=f（x）有两个零点x₁，x₂，
即g（x），h（x）有2个交点，只需a>e即可；
∴a的范围是（e，+∞）：
（2）∵lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂>e²等价于lnx₁+lnx₂>2⇔a（x₁+x₂）>2，
⇔(lnx1-lnx2)/(x1-x2)>(2)/(x1+x2)⇔ln(x1)/(x2)>(2(x1-x2))/(x1+x2)，
令 (x1)/(x2)=t，则0<t<1，
∴ln(x1)/(x2)>(2(x1-x2))/(x1+x2)⇔lnt>(2(t-1))/(t+1)，
设g（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)，（0<t<1），
∴g′（t）=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，
∴函数g（t）在（1，+∞）是递增，
∴g（t）>g（1）=0即不等式lnt>(2(t-1))/(t+1)成立，
故所证不等式x₁•x₂>e²成立．