..limx趋近于零x平方分之一减去(cotx)^2的值，

Question

..
lim x趋近于零 x平方分之一 减去 (cot x)^2 的值，

Answer 1

lim (1/x^2)-(cotx)^2
=lim (1/x^2)-(1/tanx)^2
直接通分
=lim[(tanx)^2 - x^2] / [x^2(tanx)^2]
(tanx~x,分子因式分解)
=lim (tanx+x)(tanx-x)/x^4
(左边的括号内都是x的等价无穷小,可分离）
=lim(tanx+x)/x * lim(tanx-x)/x^3
对右边的极限用洛必达法则
=[lim tanx/x + lim x/x] * lim [(secx)^2-1]/(3x^2)
因为右边的极限(secx)^2-1=(tanx)^2,等价替换为x^2
=2* lim x^2/(3x^2)
=2/3
做这类题目,能用等价无穷小替换的要尽早替换,否则就如推荐答案那样计算繁琐,而且容易出错