x>0,x不等于1,n属于N+,求证：（1+X^n)(1+X)^n>2^(n+1)X^N

Question

x>0,x不等于1,n属于N+,求证：（1+X^n)(1+X)^n>2^(n+1)X^N

Answer 1

归纳假设法证明
对i=1时,不等式成立：
（1+x)^2>4x (1-x)^2>0 因为x是不等于1的
假设i=n时,：（1+X^n)(1+X)^n>2^(n+1)X^n=2(2x)^n时成立,证明i=n+1时也成立即可
i= n+1时,不等式等价于：
（1+x^(n+1))(1+x)^(n+1)>2(2x)^n*2x
等式两边同时除以2x可变形为：
[（1+x^(n+1))(1+x)/(2x)]*(1+x)^n>2(2x)^n
已知：（1+X^n)(1+X)^n>2(2x)^n
因为x是大于0的,所以只要证明
（1+x^(n+1))(1+x)/(2x)>1+X^n)
把2x乘到不等式右边去再化简：
1-x-x^(n+1)+x^(n+2)>0
整个不等式的证明等价于证明上式,上式可变换成如下形式：
（1-x)(1-x^(n+1))
这个在x不等于1时衡大于0 ,
所以前面的假设成立,证题结束
希望你自己再慢慢推导一边