已知x∈（0，2），关于x的不等式xex<1k+2x-x2恒成立，则实数k的取值范围为（）A.[0，e+1）B.[0，2e-1）C.[0，e）D.[0，e-1）

Question

已知x∈（0，2），关于x的不等式

(x)/(ex)<(1)/(k+2x-x2)恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

A. [0，e+1）

B. [0，2e-1）

C. [0，e）

D. [0，e-1）

Answer 1

依题意，k+2x-x²>0，即k>x²-2x对任意x∈（0，2）都成立，
∴k≥0，
∵(x)/(ex)<(1)/(k+2x-x2)，
∴k<(ex)/(x)+x²-2x，
令f（x）=(ex)/(x)+x²-2x，f'（x）=(ex(x-1))/(x2)+2（x-1）=（x-1）（(ex)/(x2)+2），
令f'（x）=0，解得x=1，
当x∈（1，2）时，f'（x）>0，函数递增，
当x∈（0，1）时，f'（x）<0，函数递减，
∴f（x）的最小值为f（1）=e-1，
∴0≤k<e-1，
故选：D．