数列{an}，{bn}都是等比数列，当n≤3时，bn-an=n，若数列an唯一，则a1=．

Question

数列{a_n}，{b_n}都是等比数列，当n≤3时，b_n-a_n=n，若数列a_n唯一，则a₁=___．

Answer 1

设等比数列{a_n}的公比为q，则
当n=1时，b₁-a₁=1，b₁=a₁+1，
当n=2时，b₂-a₂=b₂-a₁q=2，b₂=a₁q+2，
当n=3时，b₃-a₃=b3-a1q2=3，b3=a1q2+3，
∵{b_n}是等比数列，
∴b22=b1b3，即
(a1q+2)2=(a1+1)(a1q2+3)，
a1q2-4a1q+3a1-1=0，
∵数列a_n唯一，
∴若上式为完全平方式，
则△=b²-4ac=(-4a1)2-4a1(3a1-1)=4a12+4a1=0．
解得a₁=-1（舍去）或者a₁=0（舍去）．
或△＞0时，方程a1q2-4a1q+3a1-1=0有一0根和一非0根，
由根与系数关系得到3a₁-1=0，即a1=(1)/(3)．
当△＞0并且两根都不为零，但是若有一根可以使b_n中有项为0，与b_n为等比数列矛盾，
那么这样的话关于a_n的方程虽然两根都不为0，但使得b_n中有0项的那个根由于与题目矛盾所以必须舍去，
这样a_n也是唯一的，由此求出a1=-(4)/(3)．
故答案为：(1)/(3)、-(4)/(3)．