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数列{an},{bn}都是等比数列,当n≤3时,bn-an=n,若数列an唯一,则a1=.
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数列{an},{bn}都是等比数列,当n≤3时,bn-an=n,若数列an唯一,则a1=___.
▼优质解答
答案和解析
设等比数列{an}的公比为q,则
当n=1时,b1-a1=1,b1=a1+1,
当n=2时,b2-a2=b2-a1q=2,b2=a1q+2,
当n=3时,b3-a3=b3-a1q2=3,b3=a1q2+3,
∵{bn}是等比数列,
∴b22=b1b3,即
(a1q+2)2=(a1+1)(a1q2+3),
a1q2-4a1q+3a1-1=0,
∵数列an唯一,
∴若上式为完全平方式,
则△=b2-4ac=(-4a1)2-4a1(3a1-1)=4a12+4a1=0.
解得a1=-1(舍去)或者a1=0(舍去).
或△>0时,方程a1q2-4a1q+3a1-1=0有一0根和一非0根,
由根与系数关系得到3a1-1=0,即a1=
.
当△>0并且两根都不为零,但是若有一根可以使bn中有项为0,与bn为等比数列矛盾,
那么这样的话关于an的方程虽然两根都不为0,但使得bn中有0项的那个根由于与题目矛盾所以必须舍去,
这样an也是唯一的,由此求出a1=-
.
故答案为:
、-
.
当n=1时,b1-a1=1,b1=a1+1,
当n=2时,b2-a2=b2-a1q=2,b2=a1q+2,
当n=3时,b3-a3=b3-a1q2=3,b3=a1q2+3,
∵{bn}是等比数列,
∴b22=b1b3,即
(a1q+2)2=(a1+1)(a1q2+3),
a1q2-4a1q+3a1-1=0,
∵数列an唯一,
∴若上式为完全平方式,
则△=b2-4ac=(-4a1)2-4a1(3a1-1)=4a12+4a1=0.
解得a1=-1(舍去)或者a1=0(舍去).
或△>0时,方程a1q2-4a1q+3a1-1=0有一0根和一非0根,
由根与系数关系得到3a1-1=0,即a1=
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当△>0并且两根都不为零,但是若有一根可以使bn中有项为0,与bn为等比数列矛盾,
那么这样的话关于an的方程虽然两根都不为0,但使得bn中有0项的那个根由于与题目矛盾所以必须舍去,
这样an也是唯一的,由此求出a1=-
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故答案为:
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