在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,角ACB=90度,E,F分别是BA,BC的中点,G是AA1上一点,且AC1垂直于EG.1.确定点G的位置2.求直线AC1与平面EFG夹角的大小

Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,角ACB=90度,E,F分别是BA,BC的中点,G是AA1上一点,且AC1垂直于EG.
1.确定点G的位置
2.求直线AC1与平面EFG夹角的大小

Answer 1

1、G在AA1的中点.
取AC中点H,连结GH、HE,
则HE是RT△CAB的中位线,
∴HE//BC,
∵BC⊥AC,
∴HE⊥AC,
∵平面ACC1A1⊥平面ABC,
∴HE⊥平面ACC1A1,
∵AC1∈平面ACC1A1,
∴HE⊥AC1,
∵AC=CC1=2,
∴四边形ACC1A1是正方形,
∴AC1⊥A1C,
∵HG是△AA1C的中位线,
∴HG//A1C,
∴HG⊥AC1,
∵HE∩GH=H,
∴AC1⊥平面EHG,
∵GE∈平面EHE,
∴GE⊥AC1,
∴G在AA1的中点.
2、以C为原点,分别以CA、CB、CC1为X轴、Y轴和Z轴参阅空间直角坐标系,
C（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2,0）,
C1（0,0,2）,A1（2,0,2）,B1（0,2,2）,·
E（1,1,0）,F（0,1,0）,G（2,0,1）,
向量AC1=（-2,0,2）,向量FG=（2,-1,1）,向量EG=（1,-1,1）,
设平面EFG的法向量n1=(x1,y1,1),
∵n1⊥平面EFG,
∴n1⊥FG,n1⊥EG,
n1·FG=2x1-y1+1=0,
n1·EG=x1-y1+1=0,
x1=0,y1=1,
∴n1=(0,1,1),
n1·AC1=0+0+2=2,
|n1|=2,
|AC1|=2√2,
设AC1与法向量n1成角为θ1,
cosθ1=2/（2*2√2）=√2/4,
AC1与平面EFG所成角θ为π/2-θ1,
sinθ=cosθ1=√2/4,
∴θ=arcsin(√2/4）,
∴直线AC1与平面EFG夹角的大小为arcsin(√2/4）.