数列{an}中,a1=1;数列{bn}中,b1=0.当n>=2时,an=1/3[2a(n-1)+b(n-1)],bn=1/3[a(n-1)+2b(n-1)]求an,bn

Question

数列{an}中,a1=1 ;数列{bn}中,b1=0.当n>=2时,an=1/3[2a(n-1)+b(n-1)],bn=1/3[a(n-1)+2b(n-1)]求an,bn

Answer 1

3an=2a(n-1)+b(n-1)
3bn=a(n-1)+2b(n-1)
两式相减：
3(an-bn)=a(n-1)-b(n-1)
∴数列{an-bn}是首项为：a1-b1=1,公比为1/3的等比数列
an-bn=(1/3)^(n-1)
∴bn=an-(1/3)^(n-1)带入：3an=2a(n-1)+b(n-1)
∴an=a(n-1)-(1/3)^(n-1)
这是关于an的递推式：
an=a(n-1)-(1/3)^(n-1)=a(n-2)-[(1/3)^(n-1)+(1/3)^(n-2)]=a1-[(1/3)^(n-1)+(1/3)^(n-2)+...+(1/3)^1]
=(1/2)[1+(1/3)^(n-1)]
bn=an-(1/3)^(n-1)=(1/2)[1+(1/3)^(n-1)]-(1/3)^(n-1)
∴an=(1/2)[1+(1/3)^(n-1)]
bn=(1/2)[1-(1/3)^(n-1)]