数列｛an｝中,若a1=1,1/an+1=1+2an/an,则数列a10=

Question

数列｛an ｝中,若a1=1,1/an+1=1+2an/an,则数列a10=

Answer 1

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由题设a1=1,且an=[a(n+1)]×(1+2an)
可得:a1=1,a2=1/3,
且1/[a(n+1)]=[1/(an)]+2 1/(a2)=(1/a1)+2
∴该数列是首项为1,公差为2的等差数列
∴通项1/an=1+2(n-1)=2n-1
∴an=1/(2n-1).n=1,2,3,
[[[2]]]]
由上面可知,
2(an)×[a(n+1)]=[1/(2n-1)]×[1/(2n+1)]=[1/(2n-1)]-[1/(2n+1)].
分别取n=1,2,3,4,n
把所得式子累加,可得
2{a1a2+a2a3+...+ana(n+1)]=1-[1/(2n+1)]=(2n)/(2n+1)
∴a1a2+a2a3+...+ana(n+1)=n/(2n+1)＞16/33
∴n＞16
∴n的最小值为17