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设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.
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设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
▼优质解答
答案和解析
(1)由Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,得:
S2=4a3-20 ①
又S3=S2+a3=15 ②
联立①②解得:a3=7.
再在Sn=2nan+1-3n2-4n中取n=1,得:
a1=2a2-7 ③
又S3=a1+a2+7=15 ④
联立③④得:a2=5,a1=3.
∴a1,a2,a3的值分别为3,5,7;
(2)∵a1=3=2×1+1,a2=5=2×2+1,a3=7=2×3+1.
由此猜测an=2n+1.
下面由数学归纳法证明:
1、当n=1时,a1=3=2×1+1成立.
2、假设n=k时结论成立,即ak=2k+1.
那么,当n=k+1时,
由Sn=2nan+1-3n2-4n,得Sk=2kak+1-3k2-4k,
Sk+1=2(k+1)ak+2-3(k+1)2-4(k+1),
两式作差得:ak+2=
ak+1+
.
∴ak+1=
ak+
=
•(2k+1)+
=
=2(k+1)+1.
综上,当n=k+1时结论成立.
∴an=2n+1.
S2=4a3-20 ①
又S3=S2+a3=15 ②
联立①②解得:a3=7.
再在Sn=2nan+1-3n2-4n中取n=1,得:
a1=2a2-7 ③
又S3=a1+a2+7=15 ④
联立③④得:a2=5,a1=3.
∴a1,a2,a3的值分别为3,5,7;
(2)∵a1=3=2×1+1,a2=5=2×2+1,a3=7=2×3+1.
由此猜测an=2n+1.
下面由数学归纳法证明:
1、当n=1时,a1=3=2×1+1成立.
2、假设n=k时结论成立,即ak=2k+1.
那么,当n=k+1时,
由Sn=2nan+1-3n2-4n,得Sk=2kak+1-3k2-4k,
Sk+1=2(k+1)ak+2-3(k+1)2-4(k+1),
两式作差得:ak+2=
2k+1 |
2k+2 |
6k+7 |
2k+2 |
∴ak+1=
2k-1 |
2k |
6k+1 |
2k |
=
2k-1 |
2k |
6k+1 |
2k |
4k2-1+6k+1 |
2k |
综上,当n=k+1时结论成立.
∴an=2n+1.
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