设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）由S_n=2na_n+1-3n²-4n，n∈N^*，得：
S₂=4a₃-20  ①
又S₃=S₂+a₃=15  ②
联立①②解得：a₃=7．
再在S_n=2na_n+1-3n²-4n中取n=1，得：
a₁=2a₂-7  ③
又S₃=a₁+a₂+7=15  ④
联立③④得：a₂=5，a₁=3．
∴a₁，a₂，a₃的值分别为3，5，7；
（2）∵a₁=3=2×1+1，a₂=5=2×2+1，a₃=7=2×3+1．
由此猜测a_n=2n+1．
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a₁=3=2×1+1成立．
2、假设n=k时结论成立，即a_k=2k+1．
那么，当n=k+1时，
由S_n=2na_n+1-3n²-4n，得Sk=2kak+1-3k2-4k，
Sk+1=2(k+1)ak+2-3(k+1)2-4(k+1)，
两式作差得：ak+2=(2k+1)/(2k+2)ak+1+(6k+7)/(2k+2)．
∴ak+1=(2k-1)/(2k)ak+(6k+1)/(2k)
=(2k-1)/(2k)•(2k+1)+(6k+1)/(2k)=(4k2-1+6k+1)/(2k)=2（k+1）+1．
综上，当n=k+1时结论成立．
∴a_n=2n+1．