已知{an}是各项为正数的等比数列，且满足a2•a3=8a1．（1）求a4；（2）设bn=log2an①求证：{bn}是等差数列；②设b1=9，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知{a_n}是各项为正数的等比数列，且满足a₂•a₃=8a₁．
（1）求a₄；
（2）设b_n=log₂a_n
①求证：{b_n}是等差数列；
②设b₁=9，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵{a_n}是各项为正数的等比数列，且满足a₂•a₃=8a₁．
∴a1q•a1q2＝8a1，∴q3＝(8)/(a1)，
∴a4＝a1q3＝a1•(8)/(a1)＝8．
（2）①证明：∵{a_n}是各项为正数的等比数列，∴an＝a1qn−1，
∵b_n=log₂a_n=log2(a1qn−1)=log₂a₁+（n-1）log₂q，
∴{b_n}是首项为b₁=log₂a₁，公差为d=log₂q的等差数列．
②∵b₁=9，∴log₂a₁=9，∴a1＝29，
由a4＝a1q3＝29•q3＝8，解得q=(1)/(4)，
∴d=log2(1)/(4)=-2，
∴S_n=9n+(n(n−1))/(2)×(−2)=10n-n²．