已知：a4+a3+a2+a+1=0，则a1990+a2000+1的值是．

Question

已知：a⁴+a³+a²+a+1=0，则a¹⁹⁹⁰+a²⁰⁰⁰+1的值是______．

Answer 1

∵a⁴+a³+a²+a+1=0，即a⁴+a³=-（a²+a+1），
∵a≠1，
∴（a-1）（a⁴+a³）=-（a-1）（a²+a+1），
即a⁵+a⁴-a⁴-a³=-（a³-1），
∴a⁵-a³=-a³+1，
∴a⁵=1，
∴a¹⁹⁹⁰+a²⁰⁰⁰+1=（a⁵）³⁹⁸+（a⁵）⁴⁰⁰+1=3．
故答案为：3