设A={a+2b||a2-2b2|=1，a，b∈Z}，现有以下三个条件：甲：x∈A且y∈A乙：xy∈A丙：1x∈A求证：甲分别是乙和丙的充分条件．

Question

设A={a+√(2)b||a²-2b²|=1，a，b∈Z}，现有以下三个条件：
甲：x∈A且y∈A
乙：xy∈A
丙：(1)/(x)∈A
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．

Answer 1

设x=a+√(2)b，y=c+√(2)d，则|a²-2b²|=1，a，b∈Z，|c²-2d²|=1，c，d∈Z
则xy=（a+√(2)b）（c+√(2)d）=（ac+2bd）+√(2)（bc+ad），
∵（ac+2bd）²-2（bc+ad）²=（a²-2b²）（c²-2d²），a，b，c，d∈Z，
∴|（ac+2bd）²-2（bc+ad）²|=|（a²-2b²）（c²-2d²）|=1，a，b，c，d∈Z，
即xy∈A，
(1)/(x)＝(1)/(a+√(2)b)＝(a−√(2)b)/(a2−2b2)=(a)/(a2−2b2)−

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