设a1，a2，a3线性无关，则下面向量组一定线性无关的是（）A．0，a2，a3B．a1，2a1，a3C．a1+a2，a2+a3，a3+a1D．a1-a2，a2-a3，a3-a1

Question

设a₁，a₂，a₃线性无关，则下面向量组一定线性无关的是（　　）

A．0，a₂，a₃
B．a₁，2a₁，a₃
C．a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₁
D．a₁-a₂，a₂-a₃，a₃-a₁

Answer 1

①选项A．含有零向量的向量组必定线性相关，故A错误；
②选项B．由于（a₁，2a₁，a₃）的部分组（a₁，2a₁）是线性相关的，因而（a₁，2a₁，a₃）线性相关，故B错误；
③选项C．由于（a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₁）=（a₁，a₂，a₃）

1	0	1
1	1	0
0	1	1

，而

.

1	0	1
1	1	0
0	1	1

.

＝2≠0，从而r（a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₁）=r（a₁，a₂，a₃）=3
因此，（a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₁）线性无关，故C正确；
④选项D．由于（a₁-a₂，a₂-a₃，a₃-a₁）=（a₁，a₂，a₃）

1	0	−1
−1	1	0
0	−1	1

，而

.

1	0	−1
−1	1	0
0	−1	1

.

＝0
从而r（a₁-a₂，a₂-a₃，a₃-a₁）＜r（a₁，a₂，a₃）
因此，（a₁-a₂，a₂-a₃，a₃-a₁）线性相关
故D错误；
故选：C