已知数列{an}满足a1+（1/2）a2+（1/3）a3+…+（1/n）an＝2∧n求其前n项和Sn

Question

已知数列{an}满足a1+（1/2）a2+（1/3）a3+…+（1/n）an＝2∧n
求其前n项和Sn

Answer 1

n=1时,a1=2
n≥2时,
a1 +a2/2 +a3/3+...+a(n-1)/(n-1)+an/n=2^n (1)
a1+a2/2+a3/3+...+a(n-1)/(n-1)=2^(n-1) (2)
(1)-(2)
an/n=2^n -2^(n-1)=2^(n-1)
an=n×2^(n-1)
n=1时,a1=1×2^0=1≠2
数列的通项公式为
an=2 n=1
n×2^(n-1) n≥2
n=1时,S1=a1=1
n≥2时,
Sn=a1+a2+...+an=2+2×2+3×2^2+...+n×2^(n-1)
令Cn=2×2+3×2^2+...+n×2^(n-1)
则2Cn=2×2^2+3×2^3+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
Cn-2Cn=-Cn=2×2+2^2+2^3+...+2^(n-1)-n×2^n
=2+2^2+2^3+...+2^(n-1) -n×2^n +2
=2[2^(n-1) -1]/(2-1) -n×2^n +2
=2^n -n×2^n
=(1-n)×2^n
Cn=(n-1)×2^n
Sn=2+Cn=(n-1)×2^n +2
n=1时,S1=(1-1)×2^n +2=2,同样满足.
综上,得Sn=(n-1)×2^n +2