已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的

Question

已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项
已知各项均为正数的数列{a_n}满足

a

2 n+1

＝2

a

2 n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn＝(nan)/((2n+1)?2n)是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为

a

2 n+1

＝2

a

2 n

+anan+1，
所以（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
因为a_n＞0，?
所以有2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列，?
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
从而数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．…（6分）
（II）bn＝(nan)/((2n+1)?2n)=(n)/(2n+1)，
若b₁，b_m，b_n成等比数列，则((m)/(2m+1))2＝(1)/(3)?(n)/(2n+1)，
即(3)/(n)＝(?2m2+4m+1)/(m2)，
所以-2m²+4m+1＞0，解得：1-(√(6))/(2)＜m＜1+(√(6))/(2)．
又m∈N^*，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
故当且仅当m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比数列．…（13分）