已知正项数列{an}的前n项和为Sn，向量AB=（Sn，14-an），其中n∈N*，CD=（1，-12），且满足AB∥CD．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若

Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量

AB

=（S_n，(1)/(4)-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-(1)/(2)），且满足

AB

∥

CD

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列对任意的n∈N^*都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-(n)/(2)-1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵向量

AB

=（S_n，(1)/(4)-a_n），其中n∈N^*，

CD

=（1，-(1)/(2)），且满足

AB

∥

CD

，
∴−(1)/(2)Sn−((1)/(4)−an)＝0，即S_n=2an−(1)/(2)①，
易知当n=1时，a1＝(1)/(2)；n≥2时，S_n-1=2an−1−(1)/(2)②，
由①-②得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以a1＝(1)/(2)为首项，公比为2的等比数列，
∴an＝(1)/(2)×2n−1＝2n−2．
（2）由（1）知，an＝2n−2，∴a₁a₄a₇…a_3n-2=(1)/(2)×22×25×…×23n−2=2

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