设Sn为等差数例{an}的前n项和,已知S3=a7,a8－2a3=3设bn=1/Sn,数列{bn}的前n项和记为Tn,求证Tn>3/4－1/(n＋1)(n属于N＊)

Question

设Sn为等差数例{an}的前n项和,已知S3=a7,a8－2a3=3
设bn=1/Sn,数列{bn}的前n项和记为Tn,求证Tn>3/4－1/(n＋1)(n属于N＊)

Answer 1

由a8-2a3=3可以写出 a1+7d-2a1-4d=3 化简得到 d=(3+a1)/3 S3=(a1+a3)*3/2=(2a1+2d)*3/2=3a1+3d a7=a1+6d S3=a7 就可以得到 2a1=3d 联立2a1=3d与d=(3+a1)/3 解得a1=3 d=2 则Sn=n²+2n bn=1/[n(n+2)] 对bn求和用裂项相消 得Tn=1/2*[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]化简后得Tn=3/4-1/2*[1/(n+1)+1/(n+2)] 要证明Tn>3/4－1/(n＋1) 则 证明Tn-3/4+1/(n+1)＞0 将Tn带入 化简得1/2*[1/(n+1)-1/(n+2)]＞0 因为[1/(n+1)-1/(n+2)]＞0 所以 1/2*[1/(n+1)-1/(n+2)]＞0成立 所以Tn>3/4－1/(n＋1)