在等差数列{an}中,已知a1=4,前n项和Sn=11,又a1,a7,a10成等比数列,求项数n.

Question

在等差数列{an}中,已知a1=4,前n项和Sn=11,又a1,a7,a10成等比数列,求项数n.

Answer 1

设公差为d
则A1=4,A7=4+(7-1)d=4+6d,A10=4+(10-1)d=4+9d
∵A1,A7,A10成等比数列
∴A7×A7=A1×A10
即(4+6d)²=4(4+9d),即16+36d²+48d=16+36d,即d(3d+1)=0
∴d=0或者d=-1/3
①当d=0时,An=A1=4,Sn=nA1=4n,
4n=11,n=11/4不是整数,舍去
②当d=-1/3时,Sn=nA1+n(n-1)d/2=4n-n(n-1)/6=11
即24n-n(n-1)=66,即24n-n²+n-66=0,即n²-25n+66=0,即(n-3)(n-22)=0
则n=3或者n=22,因为n>10,n=3舍去.
综上所述：
n的值为：n=22