已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10求数列{an/2^n-1}的前n项和.（注；n-1是一个整体,2的n-1方）

Question

已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
求数列{an/2^n-1}的前n项和.（注；n-1 是一个整体,2的n-1方）

Answer 1

已知等差数列{a‹n›}满足a₂=0,a‹6›+a‹8›=-10求数列{a‹n›/2ⁿֿ¹}的前n项和.
a‹6›+a‹8›=(a₂+4d)+(a₂+6d)=10d=-10,故d=-1；又a₂=a₁+d=a₁-1=0,故a₁=1.
∴{a‹n›}是首项a₁=1,公差d=-1的等差数列,于是得a‹n›=1-(n-1)=2-n；
设b‹n›=a‹n›/2ⁿֿ¹=(2-n)/2ⁿֿ¹=2[(2-n)/2ⁿ]
故其前n项和S‹n›：
S‹n›=2{1/2+0/2²+(-1/2³)+(-2)/2⁴+.+[-(n-3)]/2ⁿֿ¹+(2-n)/2ⁿ}.(1)
(1/2)S‹n›=2{1/2²+0/2³+(-1/2⁴)+(-2/2^5)+.+[-(n-3)/2ⁿ+(2-n)/2^(n+1)}.(2)
(1)-(2)(错项相减)得：
(1/2)S‹n›=2{1/2-1/2²-1/2³-1/2⁴-.-1/2ⁿ-(2-n)/2^(n+1)}
=1-(1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+.+1/2ⁿֿ¹)-(2-n)/2ⁿ=1-(1/2)[1-1/2ⁿֿ¹]/(1-1/2)-(2-n)/2ⁿ
=1/2ⁿֿ¹-(2-n)/2ⁿ=2/2ⁿ-(2-n)/2ⁿ=n/2ⁿ.
故S‹n›=n/2ⁿֿ¹,(n=1,2,3,.)