已知数列{an}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n=（）A.20B.17C.19D.21

Question

已知数列{a_n}是等差数列，若a₉+3a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0，且数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n=（　　）
A. 20
B. 17
C. 19
D. 21

Answer 1

∵数列{a_n}是等差数列，若a₉+3a₁₁＜0，设公差为d，则有4a₁+38d＜0，即2a₁+19d＜0，
故有（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，且a₁＜-9.5d．
再由前n项和S_n有最大值，可得数列为递减数列，公差d＜0．
结合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
综上可得-9d＜a₁＜-9.5d．
令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+(n(n−1))/(2)d＞0，且 （n+1）a₁+(n(n+1))/(2)d≤0．
化简可得 a₁+(n−1)/(2)d＞0，且a₁+(n)/(2)d≤0．即 n＜-(2a1)/(d)+1，且 n≥-(2a1)/(d)．
再由-9d＜a₁＜-9.5d，可得 18＜-(2a1)/(d)＜19，∴19≤n≤19，∴n=19，
故选C．