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已知函数f(x)=x³-ax²+bx+c.若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若f(x)
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已知函数f(x)=x³-ax²+bx+c.若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若f(x)
▼优质解答
答案和解析
(1)求导函数,可得f′(x)=3x2+2a x+b.
由题设,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.
∴x=1,x=﹣为f′(x)=0的解.
∴﹣a=1﹣,=1×(﹣).
解得a=﹣,b=﹣2
此时,f′(x)=3x2﹣x﹣2=(x﹣1)(x+),
x=1与都是极值点.
(2)(3)由(1)得,f′(x)=(x﹣1)(3x+2),f (x)=x3﹣x2﹣2 x+c,
f (x)在[﹣1,﹣)及(1,2]上递增,在(﹣,1)递减.
而f (﹣)=﹣﹣++c=c+,f (2)=8﹣2﹣4+c=c+2.
∴f (x)在[﹣1,2]上的最大值为c+2.
∴
∴
∴或
∴0<c<1或c<﹣3
由题设,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.
∴x=1,x=﹣为f′(x)=0的解.
∴﹣a=1﹣,=1×(﹣).
解得a=﹣,b=﹣2
此时,f′(x)=3x2﹣x﹣2=(x﹣1)(x+),
x=1与都是极值点.
(2)(3)由(1)得,f′(x)=(x﹣1)(3x+2),f (x)=x3﹣x2﹣2 x+c,
f (x)在[﹣1,﹣)及(1,2]上递增,在(﹣,1)递减.
而f (﹣)=﹣﹣++c=c+,f (2)=8﹣2﹣4+c=c+2.
∴f (x)在[﹣1,2]上的最大值为c+2.
∴
∴
∴或
∴0<c<1或c<﹣3
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