已知数列{an}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有ai+1ai∈{2，1，-12}，则数列{an}的个数为（）A.729B.491C.490D.243

Question

已知数列{a_n}共有9项，其中，a₁=a₉=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有

(ai+1)/(ai)∈{2，1，-(1)/(2)}，则数列{a_n}的个数为（　　）

A. 729

B. 491

C. 490

D. 243

Answer 1

令b_i=(ai+1)/(ai)（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a_n}，
满足

8

i=1

bi=

8

i=1

=(ai+1)/(ai)=(a9)/(a1)=1，且b_i∈{2，1，-(1)/(2)}，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
由题意知b_i（1≤i≤8）中有2k个-(1)/(2)，2k个2，8-4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
共有1+C₈²C₆²+C₈⁴C₄⁴=491个，
故选：B．