现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，xn＝n5，yn＝1T(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn

Question

现有一组互不相同且从小到大排列的数据a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0．记T=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，xn＝(n)/(5)，yn＝(1)/(T)(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

Answer 1

（Ⅰ）f(0)＝(a0)/(a0+a1+a2+a3+a4+a5)＝0，…（2分）
f(1)＝(a0+a1+a2+a3+a4+a5)/(a0+a1+a2+a3+a4+a5)＝1；   …（4分）
（Ⅱ）kn＝(yn−yn−1)/(xn−xn−1)＝(5)/(T)an，n=1，2，3，4，5．   …（6分）
因为　a₀＜a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以　k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．           …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（x_n-1，x_n）时，f(x)＝(f(xn)−f(xn−1))/(xn−xn−1)•(x−xn−1)+f(xn−1)=(xn−x)/(xn−xn−1)f(xn−1)+(x−xn−1)/(xn−xn−1)f(xn)＜(xn−x)/(xn−xn−1)xn−1+(x−xn−1)/(xn−xn−1)xn=x．
下面证明f（x_n）＜x_n．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a₁+a₂+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+a₂+…+a_n）…（10分）=n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）（a₁+a₂+…+a_n）≤n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）na_n…（11分）=n[a₁+a₂+…+a_n+（5-n）a_n]＜n（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT…（12分）
所以　f(xn)＝(a1+a2+…+an)/(T)＜(n)/(5)＝xn．…（13分）
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当k_n＜1时，y_n=（y₁-y₀）+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=(1)/(5)(k1+k2+…+kn)＜(n)/(5)＝xn；…（10分）
当k_n≥1时，y_n=y₅-（y₅-y_n）=1-[（y_n+1-y_n）+（y_n+2-y_n+1）+…+（y₅-y₄）]=1−(1)/(5)(kn+1+kn+2+…+k5)＜1−(1)/(5)(5−n)＝(n)/(5)＝xn．
综上，f（x_n）＜x_n．           …（13分）