若一元多项式a0x^n+a1x^（n-1）+...+an能被(x-1)^(k+1)整除的充分必要件是：a1+2a2+...+nan=0；a1+4a2+...+n^2an=0；...a1+2^ka2+...+n^kan=0

Question

若一元多项式a0x^n+a1x^（n-1）+...+an能被(x-1)^(k+1)整除的充分必要
件是：
a1+2a2+...+nan=0；
a1+4a2+...+n^2an=0；
...
a1+2^ka2+...+n^kan=0

Answer 1

啊……高等代数题也跑百度知道来,
要命的是,你题还出错了!
原因如下,你这么多条件里面都没用到a0,
那也就是说,满足你这些条件的a0x^n+a1x^（n-1）+...+an能被(x-1)^(k+1)整除,
那将这个多项式增加一个x^n,变成(a0+1)x^n+a1x^（n-1）+...+an也满足你这些条件,
那岂不也能被(x-1)^(k+1)整除?
整除添加一项后还整除,那添加项肯定也能被(x-1)^(k+1)整除,
也就是说,x^n能被(x-1)^(k+1)整除,
这肯定错了.
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下面给出一个反例.
a1+2a2+3a3=0
取值如下：a0=7,a1=1,a2=1,a3=-1,满足上面的式子.
于是,
7x^3+x^2+x-1明显没有x-1这个因式.
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你一定少打了某个条件.
个人觉得应该加上a0+a1+a2+a3+...+an=0.
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你要实在不行,手机拍照把,输入这么多文字不但费劲,输错了还麻烦了.
请将更正后的问题发在后面追问吧.一定帮你解决.
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