1,设a>0,b0,x2>0,且x1≠x2,求证f(x1)+f(x2)/2>f(x1+x2/2)答得好的再追加分

Question

1,设a>0,b0,x2>0,且x1≠x2,
求证f(x1)+f(x2)/2>f(x1+x2/2)
答得好的再追加分

Answer 1

a^n+b^n-a^(n-1) b-ab^(n-1)=（a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)]
a-b>0,
当n为奇数时：若|a|＜|b|,则a^(n-1)当n为偶数时,则b^(n-1）＜0所以a^(n-1)＋b^(n-1)＞0即a^n+b^n-a^(n-1) b-ab^(n-1)＞0
2x^4+2y^4-xy(x+y)^2=2x^4+2y^4-yx^3-xy^3-2x^2y^2=（x^2-y^2）^2+(x-y)(x^3-y^3)=（x^2-y^2）^2+(x-y)^2(x^2+y^2+xy)
又x^2+y^2+xy＞0恒成立所以)=（x^2-y^2）^2+(x-y)^2(x^2+y^2+xy)＞0即结论成立
a+b+c=1,两边平方,则1=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac≤a^2+b^2+c^2+(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(a^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2),当且仅当a=b=c时取等号.所以a^2+b^2+c^2≥1/3
简单的用图像法可以证明.
实在不愿写了.把X1、X2代进去,两式相减,化简可得3/8（X1-X2)^2（X1+X2)＞0,即有f(x1)+f(x2)/2>f(x1+x2/2)