（2011•江苏二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF=2a．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF；（3）

Question

（2011•江苏二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）试在BB₁上找一点G，使得CG⊥平面ADF；
（3）求三棱锥D-AB₁F的体积．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，D为BC的中点
∵E为AB的中点，连接CE交AD于O，连接FO，
∴(CO)/(CE)＝(CF)/(CC1)=(2)/(3)
∴FO∥EC₁（2分）
∵FO⊆平面AFD，C₁E⊄平面AFD（4分）
∴C₁E∥平面AFD（5分）
（2）在平面C₁CBB₁内，过C作CG⊥DF，交BB₁于G
在△RtFCD 和△RtCBG中FC=CB，∠CFD=∠BCG
∴Rt△FCD≌Rt△CBG（6分）
而AD⊥BC，CC₁⊥AD且CC₁∩BC=C
∴AD⊥平面C₁CBB₁（8分）
∵CG⊆平面C₁CBB₁
∴AD⊥CG，
∵CG⊥DF，AD∩FD=D
∴CG⊥平面ADF
此时BG=CD=a（10分）
（3）AD⊥BCC₁B₁
∴VD−AFB1=VA−B1FD=(1)/(3)S△FDB1•AD（12分）
=(1)/(3)×(1)/(2)B1F•FD•AD
=(5√(2))/(3)a3（14分）