如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=．

Question

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=(a)/(3)，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ___ ．

Answer 1

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，MN⊂平面A₁B₁C₁D₁
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点
∴MN∥A₁C₁∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=(a)/(3)，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，
∴CQ=(a)/(3)，从而DP=DQ=(2a)/(3)，
∴PQ=√(DQ2+DP2)=√(((2a)/(3))2+((2a)/(3))2)=(2√(2))/(3)a．
故答案为：(2√(2))/(3)a