如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（2）求证：平面AA1C⊥面EFG．

Question

如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．

（1）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）求证：平面AA₁C⊥面EFG．

Answer 1

（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中连接BD，
因为DD₁∥B₁B，DD₁=B₁B，DD₁BB₁为平行四边形
所以D₁B₁∥DB．
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD，
∴EF∥D₁B₁．
∵EF⊂平面GEF，D₁B₁⊄平面GEF，
∴D₁B₁∥平面GEF
同理AB₁∥平面GEF
∵D₁B₁∩AB₁=B₁
∴平面A B₁D₁∥平面EFG．      
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有AA₁⊥平面ABCD，
∵EF⊂平面ABCD∴AA₁⊥EF
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD
∵EF∥BD∴AC⊥EF．
 又因为AA₁∩AC=A，
所以EF⊥平面AA₁C．
∵EF⊂平面EFG
∴平面AA₁C⊥面EFG．