（2014•揭阳二模）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=6，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．（1）求证：PN∥平面ABC；（2）求证：A1M⊥AB1C1；（3）

Question

（2014•揭阳二模）如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=√(6)，点P、M、N分别为BC₁、CC₁、AB₁的中点．
（1）求证：PN∥平面ABC；
（2）求证：A₁M⊥AB₁C₁；
（3）求点M到平面AA₁B₁的距离．

Answer 1

（1）证明：连结CB₁，
∵P是BC₁的中点，∴CB₁过点P，--（1分）
∵N为AB₁的中点，∴PN∥AC，---------------------------（2分）
∵AC⊂面ABC，PN⊄面ABC，
∴PN∥平面ABC．--------------------------------------（4分）
（2）证法一：连结AC₁，在直角△ABC中，
∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=√(3)-----------------------------------（5分）
∵(CC1)/(A1C1)=(A1C1)/(MC1)=√(2)，
∴Rt△A₁C₁M～Rt△C₁CA--------------------------------------------------------（7分）
∴∠A₁MC₁=∠CAC₁，∴∠AC₁C+∠CAC₁=∠AC₁C+∠A₁MC₁=90°
∴AC₁⊥A₁M．-------------------------------------------------------------------（8分）
∵B₁C₁⊥C₁A₁，CC₁⊥B₁C₁，且C₁A₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁，-----------------------------------------------------------（9分）
∴B₁C₁⊥A₁M，又AC₁∩B₁C₁=C₁，故A₁M⊥平面A B₁C₁，-------------------------（11分）
证法二：连结AC₁，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=√(3)-------------------------------------------------------------（5分）
设∠AC₁A₁=α，∠MA₁C₁=β
∵tanαtanβ＝(AA1)/(A1C1)•(MC1)/(A1C1)＝(√(6))/(作业帮用户2016-11-21举报问题解析（1）证明PN∥平面ABC，利用线面平行的判定，只需证明PN∥AC；（2）证明A1M⊥AB1C1，只需证明AC1⊥A1M，B1C1⊥A1M；（3）利用VM−AA1B1＝VB1−MAA1，可求点M到平面AA1B1的距离，名师点评本题考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．考点点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查点M到平面AA1B1的距离，用好等体积是关键．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)