如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体B-B1DE的体积．

Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长都是a，截面AB₁C和截面A₁BC₁相交于DE，求四面体B-B₁DE的体积．

Answer 1

VA−BB1C=VB1−ABC=(1)/(3)S_△ABC•B₁B=(1)/(3)•(√(3))/(4)a2•a₌(√(3))/(12)a3．
由条件知，D、E分别为AB₁和CB₁的中点，
∴S△B1EB=(1)/(2)S△BB1C，且A到面BB₁C的距离h为D到面B₁EB的2倍，即D到B₁EB的距离为(1)/(2)h．
∵VD−B1EB=(1)/(3)S△B1EB•(1)/(2)h
=(1)/(3)•(S△BB1E•(1)/(2))•(1)/(2)h
=(1)/(4)•(1)/(3)S△BB1C•h
=(1)/(4)VA−BB1C
=(1)/(4)•(√(3))/(12)a3
=(√(3))/(48)a3．
∴VD−B1EB=(√(3))/(48)a3．