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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.
▼优质解答
答案和解析
证法一:分别过E、F作EM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,连接MN.
∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
∴EM∥BB1,FN∥BB1.∴EM∥FN.
又B1E=C1F,∴EM=FN.
故四边形MNFE是平行四边形.
∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中,
∴EF∥平面ABCD.
证法二:过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则
=
.
∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴
=
.
∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中,
∴EF∥平面ABCD.
∵BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
∴EM∥BB1,FN∥BB1.∴EM∥FN.
又B1E=C1F,∴EM=FN.
故四边形MNFE是平行四边形.
∴EF∥MN.又MN在平面ABCD中,
∴EF∥平面ABCD.
证法二:过E作EG∥AB交BB1于点G,连接GF,则
B1E |
B1A |
B1G |
B1B |
∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴
C1F |
C1B |
B1G |
B1B |
∴FG∥B1C1∥BC.
又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,
∴平面EFG∥平面ABCD.而EF在平面EFG中,
∴EF∥平面ABCD.
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