（2014•重庆模拟）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=14AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角E-BC1-D的余弦值．

Question

（2014•重庆模拟）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，侧棱AA₁⊥面ABC，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=(1)/(4)AB．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AB的中点M，
∵AF=(1)/(4)AB．
∴F为AM的中点，
又QE为AA₁的中点，
∴EF∥A₁M，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为A₁B₁、AA₁的中点，
∴A₁D∥BM，且A₁D=BM，
则四边形A₁DBM为平行四边形，
∴A₁M∥BD，
∴EF∥BD，
又∵BD⊂平面BC₁D，EF⊄平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则B（1，0，0），E（-1，0，1），D（0，0，2），C₁（0，√(3)，2），
∴

BD

=（-1，0，2），

BE

=（-2，0，1），

BC1

=（-1，√(3)，2）．
设面BC₁D的一个法向量为

m

＝(x1，y1，z1)，面BC₁E的一个法向量为

n

＝(x2，y2，z

作业帮用户 2017-09-20