已知数列满足：a1=1，an+1=anan+2，（n∈N*），若bn+1=（n-λ）（1an+1），b1=-λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为．

Question

已知数列满足：a₁=1，a_n+1=(an)/(an+2)，（n∈N^*），若b_n+1=（n-λ）（(1)/(an)+1），b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为______．

Answer 1

∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=(an)/(an+2)，（n∈N^*），
∴(1)/(an+1)＝(2)/(an)+1，化为(1)/(an+1)+1＝2((1)/(an)+1)，
∴数列{(1)/(an)+1}是等比数列，首项为(1)/(a1)+1=2，公比为2，
∴(1)/(an)+1＝2n，
∴b_n+1=（n-λ）（(1)/(an)+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）•2ⁿ＞（n-1-λ）•2^n-1，
化为λ＜n+1，
∵数列{n+1}为单调递增数列，
∴λ＜2．
∴实数λ的取值范围为λ＜2．
故答案为：λ＜2．