在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,B1B的中点,求证：B1D⊥EFG

Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,B1B的中点,求证：B1D⊥EFG

Answer 1

如图,设底面对角线的交点为O,对角线B1D与
平面A1BC1相交于P,则P一定在平面A1BC1与
对角面BB1D1D的交线B1O上.
∵BB1⊥A1C1.B1D1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1
∴A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1D在平面BB1D1D内,∴B1D⊥A1C1.
设正方体的棱长为1,则在矩形BB1D1D中,
B1D1=√2,B1O=√2/2.
在Rt△B1D1D中,DD1/B1D1=1/√2=√2/2;
在Rt△BB1O中,OB1/BB1=(√2/2)/1=√2/2.
∴∠DB1D1=∠OBB1.∴B1P⊥BO,即B1D⊥BO.
又BO∩A1C1=O,∴B1D⊥平面A1BC1.
又∵EF‖A1C1,EG‖A1B,FG‖BC1,∴面EFG‖面A1BC1.
∵B1D⊥面A1BC1,∴B1D⊥面EFG.