高中数学已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中,角C=90度,BC=√2,BB1=2,O是AB1的中点已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中,角C=90度,BC=√2,BB1=2,O是AB1的中点,D是AC的中点,M是CC1的中点.证明BM与AB1

Question

高中数学已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中,角C=90度,BC=√2,BB1=2,O是AB1的中点
已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中,角C=90度,BC=√2,BB1=2,O是AB1的中点,D是AC的中点,M是CC1的中点.证明BM与AB1所成的角的余弦值.

Answer 1

两线垂直,夹角余弦值为0.方法有二,如下：
法一（空间向量法）
分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间坐标系,设CA长度为a,则向量AB1=(-a,√2,2),向量BM=(0,-√2,1),两向量内积为0,则两向量垂直,所在直线也垂直,夹角余弦值为0.
法二(空间几何法)
提示：两异面直线求夹角,从几何上,必须先“转化”为共面直线,即将某条直线“投影到”另一条直线所在的某个面内,所以这里的关键主要在于,如何找到合适的“投影“和”面”.
详由题意知,AC垂直于BC和CC1,所以AC垂直于面CBB1C1.连接CB1交BM于点E,则CB1即AB1在面CBB1C1内的投影,故BM与AB1所成的角即BM与CB1所成的角∠CEB.在面CBB1C1内,按照平面几何的方法,易证Rt△MCB~Rt△CBB1,进而易证∠CEB=90°.故BM与AB1夹角余弦值为0