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已知实数a,b∈R,若a2-ab+b2=3,则(1+ab)2a2+b2+1的值域为.

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已知实数a,b∈R,若a2-ab+b2=3,则
(1+ab)2
a2+b2+1
的值域为___.
▼优质解答
答案和解析
∵a2-ab+b2=3,
∴ab+3=a2+b2≥2|ab|,∴-1≤ab≤3,当且仅当a=b=±
3
时取右边等号,ab=-1时取左边等号.
令ab=t∈[-1,3].
(1+ab)2
a2+b2+1
=
(1+t)2
t+4
=t-2+
9
t+4
=f(t).
f′(t)=1-
9
(t+4)2
=
t2+8t+7
(t+4)2
=
(t+1)(t+7)
(t+4)2

∴f(t)在[-1,3]上单调递增.
f(-1)=0,f(3)=
16
7

∴f(t)∈[0,
16
7
].
故答案为:[0,
16
7
].