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已知实数a,b∈R,若a2-ab+b2=3,则(1+ab)2a2+b2+1的值域为.
题目详情
已知实数a,b∈R,若a2-ab+b2=3,则
的值域为___.
(1+ab)2 |
a2+b2+1 |
▼优质解答
答案和解析
∵a2-ab+b2=3,
∴ab+3=a2+b2≥2|ab|,∴-1≤ab≤3,当且仅当a=b=±
时取右边等号,ab=-1时取左边等号.
令ab=t∈[-1,3].
则
=
=t-2+
=f(t).
f′(t)=1-
=
=
∴f(t)在[-1,3]上单调递增.
f(-1)=0,f(3)=
.
∴f(t)∈[0,
].
故答案为:[0,
].
∴ab+3=a2+b2≥2|ab|,∴-1≤ab≤3,当且仅当a=b=±
3 |
令ab=t∈[-1,3].
则
(1+ab)2 |
a2+b2+1 |
(1+t)2 |
t+4 |
9 |
t+4 |
f′(t)=1-
9 |
(t+4)2 |
t2+8t+7 |
(t+4)2 |
(t+1)(t+7) |
(t+4)2 |
∴f(t)在[-1,3]上单调递增.
f(-1)=0,f(3)=
16 |
7 |
∴f(t)∈[0,
16 |
7 |
故答案为:[0,
16 |
7 |
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