已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与

Question

已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值−(b2)/(a2)．试对双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．

Answer 1

双曲线类似的性质为：
若A，B是双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值(b2)/(a2)．
证明：设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
且(x20)/(a2)−(y20)/(b2)＝1①，(x21)/(a2)−(y21)/(b2)＝1②，
两式相减得：b2(

x

2 0

−

x

2 1

)−a2(

y

2 0

−

y

2 1

)＝0，
∴kPA•kPB＝(y0−y1)/(x0−x1)•(y0+y1)/(x0+x1)＝(y20−y21)/(x20−x21)＝(b2)/(a2)
即kPA•kPB＝(b2)/(a2)，是与点P位置无关的定值．