已知实数a,b,c,a+b+c=1,a2+b2+c2=3,求abc的最大值

Question

已知实数a,b,c,a+b+c=1,a2+b2+c2=3,求abc的最大值

Answer 1

我从网上找的：
a+b+c=1
两边平方,整理可得
a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1
结合a²+b²+c²=3可得
ab+bc+ca=-1
∴-1=ab+c(a+b)
=ab+c(1-c)
∴ab=c²-c-1
又a+b=1-c
∴由伟达定理可知
a,b是关于x的方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根.
∴⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0
整理可得3c²-2c-5≤0
解得: -1≤c≤5/3
ab=c²-c-1
abc=c³-c³-c
构造函数f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3
求导,f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1)
∴f(x)max=max{f(-1/3), f(5/3)}=5/27
∴(abc)max=5/27.
我验证过,答案正确,此时：a=-1/3,b=1又2/3,c=-1/3.